经验模态分析方法（EMD）通过筛选过程可以将非平稳非线性信号按顺序分解成有限个本征模态函数，但容易产生模态混叠现象。将信号补偿方法和常规经验模态分析方法相结合，可以有效地解决模态混叠问题，同时还具有噪声滤波的作用。

经验模态分析（EMD）方法与基于傅里叶变换的信号分解方法有着本质的不同，由于其分解基函数不是预先确定，而是在分解过程中由信号本身特性决定，因此EMD方法具有很好的自适应性。尽管有着其独特的优越性，但是EMD方法缺乏严谨的数学证明，没有明确的数学表达式，存在着如模态混叠、端点飞翼等问题。

时频分析混淆产生的主要原因是信号某个时间尺度的分量发生间断，或者幅值太小，导致无法继续筛选出当前分量，而自动跳跃到筛选下一个时间尺度的分量。针对EMD方法中由于信号间断而产生的模态混叠问题，根据其筛选特点，本文提出了一种基于经验的信号补偿法。

EMD原理

为了得到有意义的瞬时频率，本征模态函数（IMF）需要满足以下两个条件：

（1）整个数据序列中，极值点的个数与过零点的个数必须相等，最多相差一个；

（2）在任意时刻t，由局部极大值点确定的上包络线μmax(t)和局部极小值点确定的下包络线μmin(t)的平均值为零，即上、下包络线关于时间轴局部对称。

根据IMF的约束条件，EMD法的具体步骤如下：

（1）将原始信号μ(t)作为待处理信号，确定该信号的所有局部极值点。然后采用三次样条曲线分别对所有的极大值点和极小值点进行插值，从而拟合出信号的上包络线μmax(t)和下包络线μmin(t)，使信号的所有数据点都位于这两条包络线之间。按顺序连接上、下包络线均值即得到一条均值线m11(t)。

m11(t)=[mmax(t)+mmin(t)]/2 （1）

（2）从待处理信号m(t)减掉上、下包络线均值m11(t)得到h11(t)：

h11(t)=m(t) – m11(t) （2）

检测h11(t)是否是一个IMF分量。如果不满足IMF的两个条件，则继续筛选，将h11(t)作为待处理信号，重复上述（1）、（2）步操作，直至第K次筛选的结果h1k(t)是一个IMF分量为止。

h1k(t)=m(t) – m11(t) –m12(t)…h1k(t) （3）

此时，记为第一个IMF分量c1。

c1(t)=h1k(t) （4）

此处，为了判定h1k(t) 是不是一个IMF分量，必须要确定一个筛选过程的停止准则。该停止准则可以通过限制两个连续的处理结果之间的标准差Dν的大小来实现。

 （5）

其中t1=（i-1）Δt，Δt为时域采样间隔，N为采样点数。

（3）从原始信号μ(t)中分解出第一个IMF分量后，从中μ(t)减去c1(t)得剩余信号序列r1(t)：

r1(t)=μ(t) – c1(t) （6）

（4）r1(t)将看做一组新的原始信号重复上述模态分解过程（1）、（2）、（3），经多次运算可得到其余的IMF分量ci(t)：

（7）

当满足如下两个条件之一：当最后一个本征模态分量rn(t)或rn(t)余量小于预定的值；余量rn(t)为一单调函数，从中不可能再筛选出额外的IMF分量时，就终止模态分解过程。

至此，就将原始信号分解为若干IMF分量和一个余量和：

 （8）

由上可知，EMD的筛选过程就是基于特征时间尺度从信号中分离出最细尺度或者最高频率的局部模态。但是，由于EMD依赖于信号的波峰和波谷来提取各个IMF分量，如果一个高频的分量间断地出现在一个信号的波形中，就会导致EMD无法正确地提取，引起所谓的“模态混叠”问题。一旦当前分解过程发生模态混叠现象，那么随后的整个分解过程都会受到影响。

基于经验的信号补偿法

式（3）中的m1k是上、下包络线的平均值，因此m1k、m1k和m1k均为时间的连续函数。也就是说，第一个IMF分量c1保留了原始信号μ，μ和μ中的所有不连续特征，而其余的ci，ci和ci均为连续函数，因为ci（i≥2）是三次样条曲线的线性组合。因此，可以认为噪声也被提取到了c1里。利用EMD方法的这种特性，可以将一个已知的高频波叠加到待处理信号上后进行分解，分解得到的第一个IMF分量c1将会包含这个外加的高频波以及原始信号的所有不连续特征。从c1中减去所加的高频波即可得到真实的第一个IMF分量c1，c1中包含了原始信号所有的不连续特征和噪声。通过这个方式可以有效地提取信号的不连续信息，同时，还可以有效地降低模态混叠的影响，并具有噪声滤波的作用。

考虑（9）所示的混合衰减信号，包含有三个随时间指数衰减的谐波，采样间隔为Δt=1/300s，噪声为正态分布的零均值随机数列，其标准差为0.002。

不考虑噪声时，直接用常规的EMD方法对原始信号进行分解（见图1），可以看出，结果中c1和c2很明显有模态混叠，c1同时包括了20Hz、5Hz和1Hz和三个频率组份，c2则包括了5Hz和1Hz两个频率组份。这是由于EMD筛选过程总是根据信号的波峰和波谷来获得信号局部的最高频率，从而将其作为信号的IMF。当某一个IMF组份太小（或消失）而无法在低频的骑行波上构造波峰和波谷时，EMD方法就会自动去筛选下一个时间尺度的分量，其结果就是筛选出的IMF分量包含了多个频率组份，并且还会影响到其后的IMF分量。该信号就是因为频率为ω3的组分的幅值太小而导致的模态混叠。如果原始信号包含有噪声，则这种模态混叠现象变得更加严重（见图2）。

为了避免模态混叠现象，根据EMD的特性，采用信号补偿法处理该原始信号u(t)，具体步骤如下：

（1）在原始信号μ(t)上人为地叠加“补偿信号”s1=0.1sin(ω3t)变为μ(t)，用EMD法筛选出μ(t)的第一个IMF分量c1，c1从中减去s1即得到原信号u(t)的第一个IMF分量c1；

（2）将余量μ-c1看作待处理信号，在其上叠加“补偿信号”s1=0.1sin(ω2t)，采用EMD法筛选出其IMF分量c2，从c2中减去s2即得到第二个IMF分量c2；

（3）将余量μ-c1-c2看作待处理信号，在其上叠加“补偿信号”s1=0.1sin(ω1t)，采用EMD法筛选出其IMF分量c3，从c3中减去s3即得到第三个IMF分量s3，同时，原始信号中的噪声被提取到c1中（见图3）。在上述过程中，信号补偿法对当前幅值很小的IMF组份通过叠加一个谐波的方式加以“补偿”，从而使得EMD能够顺利地提取各个IMF分量，而不出现模态混叠现象。这也证明，信号补偿法对EMD法中的模态混叠现象进行了有效的改进。

结论

基于经验的信号补偿法将信号补偿法和常规EMD法相结合，可以有效地解决模态混叠问题，兼有噪声滤波的作用。补偿信号的正确选取是决定该方法有效性的关键因素，如何量化补偿信号是一个难点，值得进一步研究。